Platonische Körper

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Definition: Ein Polyeder heisst regulär, wenn alle seine Oberflächen aus demselben regelmässigen Vieleck bestehen und in jeder Ecke gleich viele dieser Vielecke zusammenstossen.

Spätestens seit Platon ist bekannt, dass es nur genau fünf reguläre konvexe Polyeder gibt:

Tetraeder aus 4 (grch. tetra) Dreiecken
Hexaeder aus 6 (grch. hexa) Quadraten
Oktaeder aus 8 (grch. okta) Dreiecken
(Pentagon-)Dodekaeder aus 12 (grch. dodeka) Fünfecken (grch. pentagon)
Ikosaeder aus 20 (grch. eikosi) Dreiecken

Für die Winkel in den Ecken des regelmässigen n-Ecks gilt nämlich

n 3 4 5 6   n
Winkel 60 90 108 120   180-360/n


In jeder Ecke eines Polyeders müssen mindestens drei Vielecke zusammenstossen um eine räumliche Ecke zu bilden. Da andererseits das reguläre Polyeder konvex ist, muss die gesamte Winkelsumme aller n-Ecke, die in jeder Körperecke zusammenstossen, stets echt kleiner als 360o sein. Es können also nur 3,4 oder 5 regelmässge Dreiecke, 3 Quadrate oder 3 regelmässe Fünfecke sein. Diese fünf möglichen Fälle lassen sich aber durch die oben angegebenen Körper realisieren.

Jeder Platonische Körper besitzt eine Innenkugel, auf der die Mittelpunkte sämtlicher Flächen des Körpers liegen, und eine Aussenkugel, auf der sämtliche Körperecken liegen.